ما هو المدى الربيعي ؟ .. وقوانينه .. وأمثلة عليه

ما هو المدى الربيعي

إن المدى الربيعي واسمه باللغة

الإنجليزية

interquartile range وهو المعرف أيضاً باسم النطاق الربيعي لمجموعة من البيانات، ويستخدم المدى الربيعي في التحليل الإحصائي ويعمل على استخلاص النتائج من مجموعة عديدة من

الأرقام

، وعادة ما يستخدم بدلاً من السعة ويكمن السبب في هذا الاستخدام لأنه يعمل على حذف أغلبية

القيم

الموجودة، فيهتم المدى الربيعي عندما يتم الحساب عن طريقه على الجزء المتوسط من القيم ويهمل القسم العلوي بالإضافة إلى إهماله للقسم السفلي.

ومن الممكن تعريف المدى الربيعي بأنه هو مقياس لمكان ويتألف هذا المكان من مجموعة من البيانات، وإن النطاق يكون مقياساً لمكان له بداية وهناك نهاية في مجموعة، فيستخدم النطاق الربيعي لقياس قيم متواجدة في المكان، وإن المدى الربيعي يعتبر مقياساً من مقاييس الانتشار وهو أفضلها.[1]

المدى في الإحصاء

وهنا

السؤال

المطروح

ما هو المدى

في الإحصاء، إن المدى في الإحصاء يطلق على طول أصغر مجال يحتوي على جميع عناصر البيانات، حيث أن المدى يقاس بنفس واحدات قياس بيانات المعلومات المدروسة ، ويعتمد المدى في الإحصاء على قيمتين من جميع العينة الإحصائية، فهو لا يعمل على تقديم معلومات شاملة وكافية متعلقة بمقدار تشتت العينة إلا في حال كان حجم العينة صغير.

قانون المدى الربيعي

إن قانون المدى الربيعي مفيد جداً لأنه يكشف عن وجود قيم متطرفة، حيث أنها تتجلى في القيم الفردية التي تقع خارج النمط العام لمجموعة البيانات، وإن هذا التعريف لا يخلو من الغموض إلى حد ما لهذا من الأمر الهام أن يكون هناك قاعدة يتم تطبيقها عندما يتم

تحديد

إذا كانت نقطة البيانات حقاً شاذة أم لا، وهنا نستخدم قانون المدى الربيعي الذي يكتب كالآتي :

Q = Q3-Q1

مع العلم أن Q هو معدل

الذكاء

، ومن الممكن أن يتم وصف أي مجموعة من البيانات عن طريق ملخصها الذي يتكون من خمسة أرقام، والتي تقوم بدورها بإعطاء المعلومات اللازمة للعثور على الأنماط بالإضافة إلى العثور على القيم المتطرفة، وتكون هذه المعلومات مرتبة بشكل تصاعدي كالتالي:

• الحد الأدنى لقيمة مجموعة البيانات .
• الربع الأول Q1 والذي يمثل ربع الطريق من خلال البيانات جميعها.
• وهناك متوسط مجموعة البيانات التي تمثل نقطة المنتصف لقائمة البيانات جميعها.
• أما الربع الثالث والذي يتمثل بالرمز Q3 فهو الذي يمثل ثلاثة أرباع الطريق المتواجد في قائمة جميع البيانات.
• وهناك أيضاً القيمة القصوى أو الأعلى لمجموعة البيانات.

وإن هذه الأرقام أم القيم الخمسة هي التي تلعب دوراً هاماً في إخبار الشخص عن بياناته أكثر من

النظر

إليها دفعة واحدة، فعلى سبيل المثال النطاق وهو الذي يعتبر الحد الأدنى المخصوم من الحد الأقصى، ويكون مؤشر من مؤشرات مدى انتشار هذه البيانات في المجموعة، ويجدر بنا التنويه أن النطاق يكون حساس كثيراً للقيم المتطرفة حيث أنه في حال كان الحد الأدنى هو الحد الأدنى أو الأقصى فلن يستطيع هذا النطاق أن يعطي نتيجة دقيقة من البيانات بسبب اتساع مجموعها، ولكن نجد أن النطاق الربيعي يشبه النطاق العادي ولكنه يتميز بأنه أقل حساسية للقيم المتطرفة، وإن

حساب

النطاق الربيعي يكون مشابهاً لحساب النطاق ولكن فقد علينا أن نطرح الربع الأول من الربع الثالث كما ذكرنا سابقاً قانون المدى الربيعي والذي يتجلى في:

معدل الذكاء = Q3 – Q1،

وإن النطاق الربيعي يوضح كيفية انتشار البيانات حول الوسيط، فيكون أقل عرضة من النطاق للقيم المتطرفة.

استخدام قاعدة المدى الربيعي لإيجاد القيم المتطرفة

يتم استخدام النطاق الربيعي لإيجاد القيم المتطرفة بواسطة الخطوات التالية وهي:

• يجب أن يتم حساب النطاق الربيعي للبيانات ويتم ذلك بضرب النطاق الربيعي الذي يرمز له بالرمز IQR في 1.5، وهو عدد ثابت يستخدم حتى يتم
  
  التمييز
  
  ما بين القيم المتطرفة.
• ثم نضيف 1.5(IQR)*إلى الربع الثالث، أي رقم أكبر من هذا يكون رقم شاذ مشتبه به.
• ثم نقوم بطرح 1.5 x (IQR) من الربع الأول، وأي رقم يكون أقل من هذا الرقم يكون شاذ مشتبه به.

ويجدر بنا التنويه أن النطاق الربيعي وقانونه ليس سوى قاعدة عامة يتم اتباعها بشكل عام ولكنها لا يمكن أن تنطبق على كل الحالات، فهناك دائماً حالات متطرفة، لهذا يجب أن يتم دراسة القيم المتطرفة التي تنتج حتى يتم معرفة إذا كانت منطقة أم لا، بالإضافة إلى فحص أي شذوذ محتمل تم الوصول إليه عن طريق اتباع طريقة المدى الربيعي في سياق مجموعة البيانات بأكملها.

أمثلة عن المدى الربيعي

سنسرد بعض الأمثلة عن المدى الربيعي ومنها:

• لنفترض أن لدينا مجموعة من البيانات التالية 1 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 7 ، 8 ، 8 ، 10 ، 12 ، 17، فنجد ملخص هذه الأرقام يكون مكوناً  من خمسة أرقام لمجموعة البيانات هذه هو الحد الأدنى = 1 ، الربع الأول = 4 ، الوسيط = 7 ، والربيع الثالث = 10 والحد الأقصى = 17 ففي هذه الحالة من الممكن أن يتم النظر  إلى البيانات وتقول تلقائيًا أن 17 هو خارج، ولكن ماذا تقول قاعدة النطاق الربيعي؟، فنحسب النطاق الربيعي لهذه البيانات الواردة أمامنا كما يلي:
  • Q3 – Q1 = 10-4 = 6.
  • ثم نضرب الإجابة في 1.5 للحصول على 1.5*6=9، فنجد أن الرقم تسعة هو أقل من الربع الأول وهو 4 – 9 = -5، ففي هذه الحالة لا توجد بيانات أقل من هذا الرقم.
  • وهناك أيضاً الرقم تسعة يكون أكثر من الربع الثالث ويساوي 10 + 9 = 19 وهنا نجد أنه لا يوجد أي رقم من هذه البيانات أكبر من هذا الرقم.
  • وهنا نلاحظ أن القيمة القصوى تزيد بمقدار خمس نقاط عن أقرب نقطة بيانات، وعلى الرغم من هذا فإن قاعدة النطاق الربيعي توضح أنه لا ينبغي أن نعتبرها خارجة عن مجموعة البيانات.
• 
  مثال عن تواجد مجموعة أرقام زوجية
  
  ، ويتجلى السؤال أنه يجب أن نبحث عن معدل الذكاء لهذه البيانات والتي تتجلى في 3 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، 11 ، 15 ، 16 ، 20 ، 21، فنقوم بحلها كالتالي:
  • يجب أن نرتب الأرقام تصاعدياً 3 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، 11 ، 15 ، 16 ، 20 ، 21.
  • ثم نضع علامة في وسط هذه البيانات 3 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، | 11 ، 15 ، 16 ، 20 ، 21.
  • ثم نقوم بوضع الأقواس حول الأرقام التي تتواجد أعلى وأسفل العلامة التي وضعناها سابقاً حتى يسهل علينا تحديد Q1 و Q3 وتكون كالتالي (3 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9) ، | (11 ، 15 ، 16 ، 20 ، 21).
  • يجب أن نبحث عن Q1 و Q3، فنستخلص أن Q1 هو الوسيط للنصف السفلي من البيانات، و Q3 هو الوسيط (الوسط) للنصف العلوي من البيانات.
    
    (3 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9) ، | (11 ، 15 ، 16 ، 20 ، 21)، Q 1 = 7 ، Q 3 = 16.
  • ثم يجب علينا أن نطرح Q1 من Q3، ويكون 16-7 = 9، وهذا هو معدل الذكاء.[2]