يسمى النظام الذي له حل واحد فقط

النظام الذي له حل واحد فقط هو

النظام المستقل أو النظام الذاتي

.

وهذه المعادلات يمكن أن يكون الزمن فيها هو أحد المتغيرات إذا كانت تفاضلية، لكننا سنذكر المعادلات الخطية

والفرق بين النظام المستقل أو الذاتي والنظام غير المستقل في النمط المتسق هو:

النظام المستقل: يحوي حل واحد فقط، ويكون هناك نقطة تقاطع واحدة بين الخطين في معادلة ما عند تمثيلها على المحور الأفقي والعمودي

النظام غير المستقل: له عدد حلول غير نهائية، والنقطة التي تحقق الحل الأول أو المعادلة الأولى هي نفسها التي تحدد المعادلة الثانية

هذه الرسوم البيانية سوف توضح الفارق بين النظام المستقل وبين النظام غير المستقل

النظام المستقل

: يمثل خطان مستقيمان في التمثيل البياني، يتقاطعان بنقطة واحدة فقط، هذا يعني أن لهما حل واحد فقط

النظام غير المتسق

: لا يوجد حل له، لأن الخطان يكونا متوازيين، وبالتالي لا يوجد لهما أي حل على الإطلاق

النظام غير المستقل:

هو شكل من أشكال النظام المتسق، لكن يوجد له عدد غير نهائي من الحلول، لأن الخطين منطبقين على بعضهما البعض ومتوازيين، ولهما نفس نقطة التقاطع، والحل الذي يحقق المعادلة الأولى يحقق المعادلة الثانية.

سوف نوضح لكم مثالًا يشير إلى نظام مستقل له عدد واحد فقط من الحلول، وهو تمثيل هاتين المعادلتين

المعادلة الأولى: y=-6x+8
المعادلة الثانية: 3x+y=-4

نقوم بترتيب المعادلتين كي نستطيع التوصل إلى حل بصورة أسرع

المعادلة الأولى تبقى على حالها: y=-6x+8
المعادلة الثانية تصبح: y= -3x-4

من أجل حل المعادلتين، نقوم بتمثيلهما على الرسم البياني، ونجد أن الخطين غير متوازيين، وبالتالي لا بد من وجود نقطة لتقاطعهما في مرحلة ما. [1] [2]

النظام الذي له حل واحد فقط هو النظام المستقل

سوف نوضح لك الفكرة بطريقة

السؤال والجواب

، هل هذه المعادلات من النمط المستقل أم غير المستقل؟

المعادلة الأولى: 4x +2y= 16
المعادلة الثانية: y= -2x +8

قبل أن نقوم بالإجابة على هذه نوع هذه المعادلات، سوف نذكرك بأنواع المعادلات المختلفة

إذا كان النظام مكون من معادلتين، لنوضح الفكرة ارسم ثلاث محاور أفقية وعمودية، الحالة الأولى يتقاطع الخط الأول مع الخط الثاني بنقطة واحدة، الحالة الثانية يكون الخطان متوازيان، ويكون ميل الخط الأول نفس ميل الخط الثاني، لكن نقطة التقاطع مع المحور الرأسي مختلفة، هذا يعني أنه لا توجد نقطة تقاطع بينهما، والحالة الثالثة هي أن يكون الميل للمعادلتين نفسه، ونقطة التقاطع مع المحور الرأسي هو نفسه

النظام الذي يكون فيه الخطان متوازيان يطلق عليه النظام غير المتسق، أما النظامين الأخيرين الذي تم ذكرهما، وأحدهما يشترك بنقطة واحدة، والثاني يكون للخطان الميل نفسه ونقص نقطة التقاطع، فيطلق عليها النظام المتسق، وله حل واحد فقط، وهو ما نريد التوصل إليه.

وبعد هذا الشرح، نتوصل إلى الفرق بين النظام المستقل وغير المستقل، وهناك نوعان من النظام المتسق

النظام المستقل

: يتقاطع فيه الخطان بنقطة معينة، هذا النظام يحوي حل واحد فقط
النظام غير المستقل:

الخط الأول يكون نفس الخط الثاني، وأي نقطة تحقق المعادلة الأولى تحقق المعادلة الثانية، في هذا النظام يكون هناك عدد غير منتهي من الحلول

سوف نعود إلى حل المسائل التي وضعناها في البداية

المعادلة الأولى: 4x +2y= 16
المعادلة الثانية: y= -2x +8

بما أن السؤال كان من البداية تحديد إذا كانت المعادلات مستقلة أم غير مستقلة، فهذا يعني أنها متسقة، وتبقى لدينا اكتشاف الجزء الثاني من السؤال، نلاحظ أن المعادلة الثانية مكتوبة بطريقة الميل وهو -2، ونقطة التقاطع مع المحور الرأسي هي (0,8)، نقوم بترتيب المعادلة الأول كي تصبح واضحة أمامنة:

4x +2y= 16، نقوم بترتيبها فتصبح 2y= -4x +16
نقوم بالتقسيم على اثنان، فتصبح y=-2x+8
نلاحظ أن المعادلة الأولى هي نفس المعادلة الثانية
نقوم بتمثيل المعادلتين على المحور الرأسي والعمودي، ميل الرأس يساوي سالب اثنان، ونجد أن نظام المعادلات في هذا المثال هو نمط غير مستقل. [3]

أمثلة على النظام الذي له حل واحد فقط

سوف نستعرض لكم الكثير من الأمثلة، البعض منها يكون له حل واحد فقط بالتالي هو نظام مستقل، والبعض الآخر له عدد غير منتهي من الحلول وبالتالي ينتمي إلى النظام غير المستقل.

المثال الأول:

المعادلة الأولى: 5x-9y=16
المعادلة الثانية: 5x-9y=36
الخيارات هي: حل واحد فقط، عدد لا نهائي من الحلول، لا حلول

طريقة الحل: يمكن أن نجاوب على هذه المعادلة بأساليب مختلفة، وطرق مختلفة، الطريقة الأولى هي أن نقوم بتمثيل المعادلة تمثيلًا بيانيًا، وإذا كان الخط الذي يمثل المعادلة الأولى هو نفسه الذي يمثل المعادلة الثانية، فهذا يعني أنه هناك عدد لا نهائي من الحلول، وهذا الأمر شاهدناه في المثال السابق الذي استخدمناه لتوضيح الفرق بين النظام المستقل والنظام غير المستقل، أما إذا كان الخطان متوازيان، فهذا يعني أنه لا حلول للمعادلة، وإذا كان الخطان يتقاطعان بنقطة واحدة، هذا يعني أن للمعادلتين حل واحد فقط

من أجل الحل نقوم بترتيب المعادلتين

المعادلة الأولى تبقى على حالها: 5x-9y=16
نضرب المعادلة الثانية بسالب واحد من أجل أن نتمكن من الجمع، فتصبح: -5x+9y=-36
نجمع مع بعضهم البعض: نحصل على الناتج التالي فنحصل على 0=-20، وهذا الحل غير صحيح، ويعني أنه لا يوجد أي حل لنظام المعادلة، فالإجابة هي لا حلول، لأن الصفر لا يمكن إطلاقًا أن تكون قيمته هي سالب عشرون، فقيمته هي الصفر فقط لأنه ليس بمتغير، وهذا يعني أن الخط الذي يمثل المعادلة الأولى يمثل المعادلة الثانية، وبالتالي الخطين متوازيين، لكن نقطة تقاطعهم مع المحور الرأسي مختلفة

المثال الثاني: اتبع أحمد عدد من الخطوات الصحيحة لحل نظام من المعادلات الخطية وكان الناتج الذي توصل إليه هو 5y=-5

المعادلة الأولى: 5x-2y=6
المعادلة الثانية: 5x+3y= 1

الحل نقوم بقسم الطرفين على خمسة فتصبح y=-1، نقوم بالتعويض في المعادلات

5x+2=6 تصبح 5x=4، هذا يعني x=4/5
نقوم بتعويض الناتج في المعادلة الثانية، 5x-3=1، نقوم بنقل العدد 3 إلى الجانب الآخر تصبح 4، ونحصل على الحل نفسه في المعادلة الأولى، وهو 5x=4، هذا يعني x=4/5
هذا يعني أن المعادلة تحوي حل واحد فقط [4]